La paradoja del mentiroso cuestiona el principio de bivalencia, según el cual toda oración declarativa bien construida es verdadera o falsa. Esto se formaliza en lógica proposicional estableciendo que, dado un conjunto P de letras proposicionales, una interpretación es una función que a cada elemento de P asigna un elemento de {V, F}, donde V es la verdad y F la falsedad.
Paradoja del mentiroso
La paradoja nace tras considerar la oración del mentiroso:
(M) Esta oración es falsa.
Supongamos que (M) es verdadera o falsa. Si verdadera, es cierto lo que dice de sí misma, a saber, que es falsa. Si falsa, no es cierto lo que dice de sí misma, conque es verdadera. Como llegamos a una contradicción en cualquier caso, rechazamos que (M) sea verdadera o falsa.
Se han propuesto muchas soluciones. Algunas respetan el principio de bivalencia y proponen jerarquizar el lenguaje, dejando (M) en un lugar aparte, o bien proponen tener en cuenta los contextos de proferencia de (M). Otras soluciones pasan por construir lógicas trivalentes, que añaden un tercer valor de verdad I, lo indeterminado, a los valores clásicos V y F.
Lógicas trivalentes
Veremos dos lógicas trivalentes que asignan a cada oración un valor en {V, F, I}. Difieren en el modo de definir la consecuencia lógica. Pero aquí solo es relevante que las dos comparten cómo calcular el valor de verdad de una oración compleja a partir de los valores de verdad de sus sub-oraciones. Negación, conjunción y disyunción:
A | no-A |
V | F |
I | I |
F | V |
A | B | A-y-B |
V | V | V |
V | I | I |
V | F | F |
I | V | I |
I | I | I |
I | F | F |
F | V | F |
F | I | F |
F | F | F |
A | B | A-o-B |
V | V | V |
V | I | V |
V | F | V |
I | V | V |
I | I | I |
I | F | I |
F | V | V |
F | I | I |
F | F | F |
Se preserva la interpretación clásica de verdad y falsedad. La negación de lo indeterminado es lo indeterminado. Por otro lado, si interpretamos que V = 1, que F = 0 y que I es un valor intermedio, la conjunción de dos valores es el más bajo y la disyunción el más alto.
Lógica K3
La lógica trivalente K3 (Kleene 1938) interpreta que I significa "ni verdadero ni falso". Aquí (M) no puede ser verdadera ni falsa, por las razones antes mencionadas, aunque sí indeterminada ya que la negación de una indeterminación es otra indeterminación.
Pero pueden generarse nuevas paradojas. Consideremos:
(M') Esta oración es falsa o indeterminada.
Supongamos que (M') es o verdadera o falsa o indeterminada. Si verdadera, no es verdadera porque dice de sí misma que es falsa o indeterminada. Si falsa, no es falsa porque al negar que sea falsa o indeterminada resulta ser verdadera. Si indeterminada, no puede ser verdadera, pero entonces no es verdad que sea falsa y tampoco es verdad que sea indeterminada, luego sí que es verdadera.
Lógica LP
La lógica trivalente LP (Priest 1979) interpreta que I significa "tanto verdadero como falso". Por segunda vez podemos esquivar la paradoja inicial asignando a (M) el valor de lo indeterminado. Pero esta vez se sigue que tanto "(M) es verdadera" como "(M) es falsa" son indeterminadas, de suerte que también lo es su conjunción:
(M'') La oración (M) es verdadera y la oración (M) es falsa.
Luego hemos resuelto la paradoja generada por (M) a costa de introducir una paradoja aún más complicada. En efecto, (M'') puede leerse como "(M) es paradójica" y lo que estamos diciendo de esta oración es precisamente que es paradójica, por ser verdadera y falsa a la vez.