El problema. Una dificultad típica en la enseñanza-aprendizaje de la lógica proposicional es distinguir entre el condicional “si A, entonces B” y la implicación con premisa única “A implica B”.
Consideremos:
(1) Si Machado fue un poeta, entonces Gaus fue un matemático.
(2) Que Machado fuese un poeta implica que Gauss fue un matemático.
Formalizando “Machado fue un poeta” mediante m, “Gauss fue un matemático” mediante g:
(1') si m, entonces g
(2') m implica g
Utilizando los símbolos del condicional y de la implicación:
(1'') m → g
(2'') m |= g
Distinción sintáctica. La cadena de símbolos “m→g” es una fórmula, donde “m” es variable proposicional (el antecedente), “→” conectiva (el condicional) y “g” variable proposicional (el consecuente). También llamamos condicional a la fórmula entera, aunque sería más correcto llamarla fórmula condicional. (1'') es una fórmula porque toda variable proposicional es fórmula y porque el resultado de intercalar un condicional entre dos fórmulas también es una fórmula.
La cadena “m |= g” conecta la fórmula “m” (la premisa) con la fórmula “g” (la conclusión) mediante el símbolo “|=”. Éste es una abreviatura de “implica”. Mientras que (1'') es una fórmula, (2'') es una relación entre fórmulas. No puede ser fórmula porque “|=” ni siquiera pertenece al lenguaje formal.
Distinción semántica. Al ser una fórmula, (1'') puede ser verdadera o falsa respecto de cualquier modelo que asigne valores de verdad o falsedad a “m” y “g”. Aquí se sobreentiende que el modelo es el mundo real. En él tanto “m” como “g” son verdaderas, de modo que “m→g” (por definición del condicional) es verdadera.
Al ser una implicación, (2'') no puede ser verdadera ni falsa respecto de un modelo; en particular, no puede ser verdadera ni falsa respecto del mundo real en tanto modelo. Mas puede ser válida o inválida respecto de la clase de todos los modelos. De hecho es inválida (por definición de la implicación), pues existen modelos donde Machado es poeta y Gauss no es matemático.
En resumen, (1'') puede ser verdadera o falsa respecto de cualquier modelo, mientras que (2'') puede ser válida o inválida respecto de la clase de todos los modelos. De forma derivada, (1'') puede ser contrastada con la clase de todos los modelos: si es siempre verdadera, es tautología; si es siempre falsa, es contradicción; si es a veces verdadera y a veces falsa, es contingencia.
Conexión semántica. Ya hemos visto las diferencias entre (1'') y (2''). Señalemos ahora su conexión: m |= g si y sólo si m → g es una tautología. Esto se sigue del teorema
A |= B si y sólo si A → B es tautología (para cualesquiera A y B),
que a su vez es un corolario de
{A1, ..., An} |= B si y sólo si A1 ∧ ... ∧ An → B es tautología (para cualesquiera A1, ..., An y B).
La implicación puede ser vista como un condicional tautológico. En tal caso el condicional se contrasta, no con un modelo particular, sino con la clase de todos ellos.