Los cuantificadores ∀ (universal) y ∃ (existencial) son bien comprendidos por cualquier estudiante de lógica de primer orden. Supongamos que el dominio de objetos sobre el que se razona es un conjunto de hoteles. Y supongamos que el predicado W formaliza en el lenguaje la propiedad de tener conexión wifi. Entonces:
∀x Wx = Todo hotel tiene wifi.
∃x Wx = Hay al menos un hotel con wifi.
¿Pero cómo expresar que exactamente un hotel tiene wifi? ¿O que dos hoteles tienen wifi? En general, ¿cómo expresar que n hoteles tienen wifi? Tener un cuantificador ∃n (numérico) para cada número natural n sería muy deseable. Con ellos podríamos expresar cosas como:
∃0x Wx = Hay 0 hoteles con wifi.
∃1x Wx = Hay 1 hotel con wifi.
∃2x Wx = Hay 2 hoteles con wifi.
Para todo n, si queremos añadir al lenguaje de la lógica de primer orden la fórmula ∃nx Wx con el significado de que n objetos cumplen la propiedad W, necesitamos encontrar alguna fórmula lógicamente equivalente a ∃nx Wx que contenga sólo variables, el predicado W, el signo de identidad, conectivas proposicionales, el existencial y el universal.
Decir que 0 hoteles tienen wifi es como decir que no hay ningún hotel con wifi, de modo que la definición formal de ∃0x Wx viene dada por la siguiente equivalencia:
∃0x Wx ↔ ¬ ∃x Wx
¿Cómo expresar que hay exactamente un hotel con wifi? La estrategia es sencilla. Primero expresamos que hay como mínimo un hotel con wifi:
∃x Wx
Esta fórmula deja abierta la posibilidad de que el número de hoteles con wifi sea 1, 2 , 3, etcétera. Así es que, en segundo lugar, expresamos que hay a lo sumo un hotel con wifi. Esto puede hacerse diciendo que, si dos variables denotan hoteles con wifi, denotan el mismo objeto:
∀x ∀y (Wx ∧ Wy → x=y)
Pero esta fórmula deja abierta dos posibilidades, a saber, que 0 hoteles tienen wifi o que 1 hotel tiene wifi. Para decir que hay exactamente 1 hotel con wifi necesitamos decir que hay al menos uno con wifi y a lo sumo uno con wifi. La definición formal de ∃1x Wx será esta:
∃1x Wx ↔ ∃x Wx ∧ ∀x ∀y (Wx ∧ Wy → x=
Una definición equivalente:
∃1x Wx ↔ ∃x (Wx ∧ ∀y (Wy → x=y))
Si ahora queremos decir que hay 2 hoteles con wifi, primero formalizamos que hay al menos 2 hoteles con wifi. Esta vez indicamos que variables distintas denotan objetos distintos:
∃x ∃y (Wx ∧ Wy ∧ x≠y)
A continuación formalizamos que a lo sumo dos hoteles tienen wifi:
∀x ∀y ∀z (Wx ∧ Wy ∧ Wz → x=y ∨ x=z ∨ y=z)
La conjunción de estas dos fórmulas expresa que hay exactamente dos hoteles con wifi. Así pues, la definición formal de ∃2x Wx será esta:
∃2x Wx ↔ ∃x ∃y (Wx ∧ Wy ∧ x≠y) ∧ ∀x ∀y ∀z (Wx ∧ Wy ∧ Wz → x=y ∨ x=z ∨ y=z)
Una definición equivalente:
∃2x Wx ↔ ∃x ∃y (Wx ∧ Wy ∧ x≠y ∧ ∀z (Wz → z=x∨ z=y))
Esta estrategia para definir cuantificadores numéricos no es la única. Pero tiene la ventaja de ofrecer un análisis lógico según el cual “Hay n objetos que cumplen W” es verdadero si y sólo si es verdadera la conjunción de “Hay al menos n objetos que cumplen W” y “Hay a lo sumo n objetos que cumplen W”. En cualquier caso, los cuantificadores numéricos son herramientas expresivas que ningún curso de lógica de primer orden debería desatender.