Preámbulo
La ciencia matemática es un saber que se enseña y practica dando primacía a la idea de "parte", mientras que la filosofía se aborda y ejerce partiendo de la idea de "todo". Podríamos afirmar que muy pocos alcanzan a concebir un panorama general de las matemáticas y también que la aplicación práctica y concreta del élan de los filosofemas es poco conseguida por el pensamiento filosófico.
Con todo lo anterior, empero, en la lectura de los Preliminares de la aritmética de Aurelio Baldor encontramos en el abordaje de sus conceptos una interpretación de cariz filosófico, principalmente bajo el orden de las ideas de Baruch Spinoza. Se intentará, por tanto, una correspondencia interpretativa y complementaria en algunas de las ideas que ambos autores desde sus campos de saber sostienen.
¿Qué es ‘naturaleza’?
"La Naturaleza es el conjunto de todo lo que existe" (Baldor 1981: 3). Para un matemático la antedicha conceptualización no supone un problema, i. e., se asume en el orden de lo apodíctico. Vemos, pues, que la existencia de "todo" se encierra bajo la idea de conjunto, de tal manera que el conjunto de todo lo que existe es lo llamado "naturaleza".
El orden de lo problemático acaece, cual reconcomio filosofal, en la conceptualización de las clases de conjuntos, en tanto finitos o infinitos: "cuando todos los elementos de un conjunto ordenable, sean o no entes materiales, puedan ser considerados uno por uno, real o imaginariamente en determinado tiempo, se dice que el conjunto es finito" (Baldor 1981: 15) y "son infinitos los conjuntos en los que no se cumplen las condiciones anteriores (…), si se intentase considerar uno por uno sus elementos (…) esta operación no tendría fin en el tiempo" (Baldor 1981: 15).
Si la "naturaleza" es un conjunto y cumple con los criterios de ordenación que permitirían ubicar o denotar en la totalidad de lo real los distintos entes de la realidad, tiene que ser un conjunto infinito, como puede parecernos evidente por sí; pero si es infinito implicaría que la idea de "todo lo que existe" de su definición es plural e inconmensurable: lo que existe para Baldor, según se colige de lo anterior, es la naturaleza como pluralidad e inconmensurabilidad, propiedades de la idea de infinito, puesto que no se agota.
Si lo anterior no es así, si a la naturaleza se le restringe como un todo cerrado y determinado, parmenídico, se tropieza con la contradicción de que no es "todo" lo que subsume dicho concepto, un todo que no es todo, y además, se reduciría la propiedad de lo infinito a conjuntos distintos de la naturaleza como conjunto, esto es, la naturaleza es un conjunto aparte que contiene como elementos a conjuntos infinitos, en tanto es el conjunto que todo lo recoge, pero que no predica la propiedad de infinito: es un finito que contiene a lo infinito; todo lo cual es absurdo.
La pluralidad e inconmensurabilidad, ambas propiedades de lo infinito, es lo problemático subyacente al concepto de naturaleza que la visión matemática considera apodíctico.
Esta idea monista de naturaleza también es fisurada en la ontología de Spinoza, tal y como se define lo que es Dios sive Naturaleza: "por Dios entiendo un ser absolutamente infinito, esto es, una substancia que consta de infinitos atributos, cada uno de los cuales expresa una esencia eterna e infinita", continúa: "a la esencia de lo que es absolutamente infinito pertenece todo cuanto expresa su esencia, y no implica negación alguna" (Spinoza 2009: 68).
Si a la naturaleza se la restringe, como anteriormente hicimos notar, implicaría una negación, i .e., a la esencia de lo infinito no pertenecería todo cuanto expresa su esencia, lo infinito no sería infinito, se le negaría su infinitud.
Por otra parte, las consideraciones de los distintos infinitos no generarían oposición a lo que hemos sostenido con anterioridad, puesto que el concepto de naturaleza de Baldor apuntaría a denotar al supraconjunto que subsumiría todo conjunto de elementos en todo orden, siendo el conjunto superior, que por lo mismo, debe ser plural e inconmensurable, lo cual es fácilmente demostrable apelando al postulado fundamental de la aritmética: "a todo conjunto se le puede añadir o quitar uno de sus elementos" (Baldor 1981: 14).
La lectura ontológica de la definición de naturaleza en la aritmética de Baldor, por todo lo anterior dicho, es posible: el rigor matemático capturado en la mirada del asombro filosófico.
La razón como condición gnoseológica de las magnitudes
La naturaleza, plural e inconmensurable, puede ser descrita en los términos de la generalidad cuando son intuidas las notas o caracteres que se predican de todas las cosas; para Baldor estas propiedades de las cosas son: el volumen de los cuerpos, la superficie, la longitud, las dimensiones, la masa material, el peso y la misma idea de pluralidad. Las propiedades son llamadas por este "magnitudes" como "los conceptos abstractos en cuyos estados particulares (cantidades) puede establecerse la igualdad y la desigualdad" (Baldor 1981: 8).
El carácter intuitivo de las magnitudes, las cuales describen aspectos generales que se predican de las cosas, de manera que cada magnitud es un aspecto general entre tantos otros aspectos generales todos distintos entre sí, es inteligible a través de la razón como su condición gnoseológica. Las cosas pueden ser descritas y aprehendidas en los términos de objetividad gracias a la razón como facultad subjetiva de captación.
La "razón" o "conocimiento del segundo género" en Spinoza, que permite que "[tengamos] nociones comunes e ideas adecuadas de las propiedades de las cosas" (Spinoza 2009: 174), distinguiéndose del conocimiento del primer género como "opinión" o "imaginación", faculta que "[haya] ciertas ideas o nociones comunes a todos los hombres" (Spinoza 2009: 170), gracias a lo cual podemos hablar en los términos de la matemática de magnitudes.
Magnitud, por tanto, es la propiedad de la propiedad de las cosas, la idea de que las cosas son percibidas y descritas en los términos de la generalidad. El conocimiento de segundo género o razón, en los términos spinozanos, versa sobre las magnitudes, como Baldor las entiende y define.
A manera de ejemplo, la magnitud continua y la discreta encuentran una correspondencia en las ideas concretas de alegría y tristeza en Spinoza. "La idea de todo cuanto aumenta o disminuye, favorece o reprime la potencia de obrar de nuestro cuerpo, a su vez aumenta o disminuye, favorece o reprime, la potencia de pensar de nuestra alma" (Spinoza 2009: 213). El aumento o disminución es inteligible como magnitud discreta, en donde es posible distinguir partes, mientras que favorecer o reprimir no distingue partes entre sí, funcionando como magnitud continua.
También, como segundo ejemplo, vemos que el conato o perseverancia en el ser funciona en los términos de la magnitud vectorial: "cada cosa se esfuerza, cuanto está a su alcance, por perseverar en su ser" (Spinoza 2009: 209) y "en la naturaleza no se da ninguna cosa singular sin que se dé otra más potente y más fuerte. Dada una cosa cualquiera, se da otra más potente por la que aquella puede ser destruida" (Spinoza 2009: 293). Los individuos de la naturaleza, bajo los términos de la alegría o tristeza, continuas o discretas, obedecen a la fuerza de conservar su ser como pervivencia y existiendo la posibilidad de la lucha con otros individuos: los individuos tienen una determinada magnitud, dirección y sentido. Lo anterior lo clarifica Spinoza: "si imaginamos que alguien goza de alguna cosa que sólo uno puede poseer, nos esforzaremos por conseguir que no posea esa cosa" (Spinoza 2009: 233); en este caso, dos vectores entran en colisión con la intención de disminuir la magnitud, en tanto que la desposesión disminuye el módulo del desposeído, entristeciéndolo.
Unidad, alma y cuerpo
Las magnitudes discretas, entendidas como "pluralidades de cosas" (Baldor 1981: 8), se esclarecen y determinan en el estudio de las ideas de conjunto y unidad. "La observación de un solo ser u objeto, considerado aisladamente (…), nos da la idea de unidad" (Baldor 1981: 13) y "cada uno de los seres u objetos que integran un conjunto es un elemento del conjunto (…), la noción de elemento coincide con la de unidad" (Baldor 1981: 14).
La unidad es un rasgo distintivo que perfila a los entes como separados entre sí, discretos; un quantum de entes separados unos de otros, distinguidos en tanto unidades o elementos, conforman al conjunto como receptáculo de los mismos. De esta manera, conjunto es inteligible bajo la figura de "todo" y unidad bajo la figura de "parte", subrayando su cariz complementario: la existencia de uno supone la del otro, y viceversa.
En el mismo espíritu de lo anterior, la idea y el cuerpo, en tanto expresiones de los registros mental y material, respectivamente, para Spinoza son una sola y misma cosa: "la idea del cuerpo y el cuerpo, esto es, el alma y el cuerpo, son un solo y mismo individuo, al que se concibe, ya bajo el atributo del pensamiento, ya bajo el atributo de la Extensión" (Spinoza 2009: 158). Hay un elemento subyacente en el orden de lo real que es el contenido de la extensión, del pensar o de ambos en simultáneo, pero que se distingue de los anteriores; un en sí que puede ser determinado, denotándose bajo la propiedad de la racionalidad de lo real, de la que participamos.
Cabría pensar entonces que este en sí se correspondería con la unidad, al ser posible distinguir entre ideas atómicas y moleculares, ideas que son tomadas intuitivamente puras e ideas que constituyen relaciones con otras ideas.
La idea que tenemos sobre un número concreto, digamos "8", es señalada en el conteo espontáneo de ocho cosas, como pueden ser los planetas que conforman el sistema solar: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, pero para establecer en puridad lo que es la idea del número, se debe recurrir a la sucesión fundamental de conjuntos que se coordina a la serie de los números naturales: el conjunto que contempla ocho unidades o elementos es representado por el número ocho cuyo ideograma es "8", y que espontáneamente es denotado en el conteo: ocho planetas en nuestro sistema solar.
Como vemos en el ejemplo anterior, el individuo, cosa o unidad (pura o compuesta, atómica o molecular), aprehendido organolépticamente en la visión material de ocho planetas o como idea pura en el tratamiento que se desprende del estudio de los conjuntos, cumplen con el aserto de Spinoza: hay un en sí racional que es captado bajo el atributo de la Extensión como cuerpo o bajo el atributo del Pensamiento como idea o alma, siendo una y la misma cosa.
Empero, la conformación del individuo en Spinoza no es tomada en la perspectiva de la ontología de cosas sino en la de la ontología de procesos; no interesa tanto su talidad como entes coordinados o subordinados, conformados, sino las distintas transformaciones que acaecen en los entes. Sobre lo primero establece:
"Ninguna cosa singular, o sea, ninguna cosa que es finita y tiene una existencia determinada, puede existir, ni ser determinada a obrar, si no es determinada a existir y obrar por otra causa, que es también finita y tiene una existencia determinada; y, a su vez, dicha causa no puede tampoco existir, ni ser determinada a obrar, si no es determinada a existir y obrar por otra, que también es finita y tiene una existencia determinada, y así hasta el infinito" (Spinoza 2009: 97).
Las cosas existen y obran, son efectuadas, por un orden causal infinito, pudiéndose determinar las causas próximas de un efecto pero no las causas totales, puesto que toda causa es causada, y así ad infinitum.
Vemos, asimismo, que los procesos de transformación, en lo material, de los que podemos tener ideas, por lo anteriormente dicho, son fundamentados con el movimiento y el reposo: "todo cuerpo, o se mueve, o está en reposo" (Spinoza 2009: 144) y "los cuerpos se distinguen entre sí en razón del movimiento y el reposo, de la rapidez y la lentitud, y no en razón de la substancia" (Spinoza 2009: 145).
"Cuando ciertos cuerpos, de igual o distinta magnitud, son compelidos por los demás cuerpos de tal modo que se aplican unos contra otros, o bien –si es que se mueven con igual o distinto grado de velocidad- de modo tal que se comuniquen unos a otros sus movimientos según una cierta relación, diremos que esos cuerpos están unidos entre sí y que todos juntos componen un solo cuerpo, o sea, un individuo que se distingue de los demás por medio de dicha unión de cuerpos" (Spinoza 2009: 147).
Lo en sí en los términos de la extensión es cuerpo (individuo, elemento, unidad o cosa), que guarda una relación de movimiento y reposo, constituido y constituyente como compuesto respecto a otros cuerpos. El individuo compuesto de Spinoza es un conjunto de n elementos, los cuales son regidos por leyes de transformación, en el carácter del movimiento y del reposo.
Esclareciéndose lo anterior con la relatividad de los términos conjunto y elemento: "lo que es conjunto con relación a unidades inferiores, puede ser considerado como unidad con relación a un conjunto superior" (Baldor 1981: 14).
En conclusión, la mirada filosófica hacia las matemáticas sopesa el talante de las ideas que aquellas operan en su lenguaje simbólico, ayudando además, a la mente filosófica a concretar o reducir operativamente sus entes. En esta complementariedad hallamos una riqueza sapiencial muy valiosa.
Baldor, Aurelio
1981 Aritmética. Madrid, EDIME.
Spinoza, Baruch
2009 Ética demostrada según el orden geométrico. Madrid, Tecnos.